Question

1．若三棱錐S-ABC的所有的頂點都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=$\frac{π}{3}$，則球O的表面積為20π．

Answer 1

分析 由余弦定理求出BC=2$\sqrt{3}$，利用正弦定理得∠ABC=90°．從而△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=$\frac{1}{2}$AC=2，進而能求出球O的半徑R，由此能求出球O的表面積．

解答 解：如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=$\frac{π}{3}$，
∴BC=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC²=BC²+AB²，∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴球O的半徑R=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴球O的表面積S=4πR²=20π．
故答案為：20π．

點評 本題考查三棱錐、球、勾股定理等基礎知識，考查抽象概括能力、數據處理能力、運算求解能力，考查應用意識、創(chuàng)新意識，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想，是中檔題．