Question

14．設(shè)k∈R，函數(shù)f（x）=lnx-kx．
（1）若k=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若f（x）無零點(diǎn)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（x）有兩個相異零點(diǎn)x₁，x₂，求證：lnx₁+lnx₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)k=2時f'（1）=-1，帖點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；
（2）當(dāng)k＜0時，由f（1）•f（e^k）＜0可知函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)k=0時，函數(shù)f（x）=lnx有唯一零點(diǎn)x=1有唯一零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)k＞0時，由單調(diào)性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，解之即可；
（3）設(shè)f（x）的兩個相異零點(diǎn)為x₁，x₂，設(shè)x₁＞x₂＞0，則lnx₁-kx₁=0，lnx₂-kx₂=0，兩式作差可得，lnx₁-lnx₂=k（x₁-x₂）即lnx₁+lnx₂=k（x₁+x₂），由x₁x₂＞e²，可得lnx₁+lnx₂＞2即k（x₁+x₂）＞2，$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，即$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，上式轉(zhuǎn)化為lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$（t＞1），構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，證g（t）＞g（1）=0即可．

解答 （1）解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-kx}{x}$，
當(dāng)k=2時，f'（1）=1-2=-1，則切線方程為y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0；
（2）解：①若k＜0時，則f'（x）＞0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，
∵f（1）=-k＞0，f（e^k）=k-ke^a=k（1-e^k）＜0，
∴f（1）•f（e^k）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）有唯一零點(diǎn)；
②若k=0，f（x）=lnx有唯一零點(diǎn)x=1；
③若k＞0，令f'（x）=0，得x=$\frac{1}{k}$，
在區(qū)間（0，$\frac{1}{k}$）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
在區(qū)間（$\frac{1}{k}$，+∞）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
故在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）的極大值為f（$\frac{1}{k}$）=-lnk-1，
由于f（x）無零點(diǎn)，須使f（$\frac{1}{k}$）=-lnk-1＜0，解得k＞$\frac{1}{e}$，
故所求實數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（3）證明：設(shè)f（x）的兩個相異零點(diǎn)為x₁，x₂，設(shè)x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，∴l(xiāng)nx₁-kx₁=0，lnx₂-kx₂=0，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂=k（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=k（x₁+x₂），
∵x₁x₂＞e²，故lnx₁+lnx₂＞2，故k（x₁+x₂）＞2，
即$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，即$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，上式轉(zhuǎn)化為lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$（t＞1），
設(shè)g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
∴g′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＞g（1）=0，∴l(xiāng)nt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂＞2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．