Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax²-ex+b，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若曲線f（x）在y軸上的截距為-1，且在點(diǎn)x=1處的切線垂直于直線y=$\frac{1}{2}$x，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）記f（x）的導(dǎo)函數(shù)為g（x），g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將（0，-1），代入f（x），即可求得b的值，求導(dǎo)，由f′（1）=-2，即可求得a的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)，g′（x）=e^x-2a，分類(lèi)分別取得g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值h（a）解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得h（a）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲線f（x）在y軸上的截距為-1，則過(guò)點(diǎn)（0，-1），代入f（x）=e^x-ax²-ex+b，
則1+b=-1，則b=-2，求導(dǎo)f′（x）=e^x-2ax-e，
由f′（1）=-2，即e-2a-e=-2，則a=1，
∴實(shí)數(shù)a，b的值分別為1，-2；
（Ⅱ）f（x）=e^x-ax²-ex+b，g（x）=f′（x）=e^x-2ax-e，g′（x）=e^x-2a，
（1）當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a≤e^x恒成立，
即g′（x）=e^x-2a≥0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）=1-e．
（2）當(dāng)a＞$\frac{e}{2}$時(shí)，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a＞e^x恒成立，
即g′（x）=e^x-2a＜0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）≥g（1）=-2a
（3）當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{e}{2}$時(shí)，g′（x）=e^x-2a=0，得x=ln（2a），
g（x）在[0，ln2a]上單調(diào)遞減，在[ln2a，1]上單調(diào)遞增，
所以g（x）≥g（ln2a）=2a-2aln2a-e，
∴h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-e}&{a≤\frac{1}{2}}\\{2a-2aln2a-e}&{\frac{1}{2}≤a≤\frac{e}{2}}\\{-2a}&{a＞\frac{e}{2}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，h（a）=1-e，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{e}{2}$時(shí)，h（a）=2a-2aln2a-e，求導(dǎo)，h′（a）=2-2ln2a-2=2ln2a，
由$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{e}{2}$時(shí)，h′（a）＜0，
∴h（a）單調(diào)遞減，h（a）∈（1-e，-e]，
當(dāng)a＞$\frac{e}{2}$時(shí)，h（a）=-2a，單調(diào)遞減，h（a）∈（-∞，-e），
h（a）的最大值1-e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．