Question

6．橢圓兩焦點為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），P在橢圓上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，△PF₁F₂的面積為9，則該橢圓的標準方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得2c=|F₁F₂|=8，以及PF₁⊥PF₂，即△PF₁F₂的為直角三角形，又由△PF₁F₂的面積為9，分析可得|PF₁|•|PF₂|=18，結合勾股定理分析可得（|PF₁|+|PF₂|）2=|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=100，變形可得2a=|PF₁|+|PF₂|=10，即a=5，計算可得b的值，將a、b的值代入橢圓的標準方程，計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓兩焦點為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
則有2c=|F₁F₂|=8，即c=4，
又由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則PF₁⊥PF₂，即△PF₁F₂的為直角三角形，
又由△PF₁F₂的面積為9，則有$\frac{1}{2}$（|PF₁|•|PF₂|）=9，即|PF₁|•|PF₂|=18；
又由|F₁F₂|=8，即|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=64；
則（|PF₁|+|PF₂|）²=|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=100，
即2a=|PF₁|+|PF₂|=10，則a=5，
又由c=4，則b²=a²-c²=9；
故橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
故選：A．

點評 本題考查橢圓的幾何性質，關鍵是求出|PF₁|+|PF₂|的值．