Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)P（0，1），則函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（　　）

• A． 有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（$\frac{π}{12}$，0）
• B． 有一條對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{π}{6}$
• C． 在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]上單調(diào)遞減
• D． 在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 根據(jù)最小正周期是π，可得ω，通過(guò)變換規(guī)律后，圖象過(guò)點(diǎn)P（0，1），求解φ，可得函數(shù)f（x）的解析式，即可判斷各選項(xiàng)．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）的最小正周期是π，即$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
∴f（x）=sin（2x+φ），
f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），此時(shí)圖象過(guò)P（0，1），
可得：$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$是單調(diào)遞增，
可得：$-\frac{π}{3}+kπ$$≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
∴C選項(xiàng)不對(duì)，
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$是單調(diào)遞增，
可得：$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴D選項(xiàng)不對(duì)，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，
得x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$
可得對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$，0），考查A不對(duì)．
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，
得x=$\frac{1}{2}kπ$$+\frac{π}{6}$，
可得對(duì)稱(chēng)軸方程為x=$\frac{1}{2}kπ$$+\frac{π}{6}$，
當(dāng)k=0時(shí)，可得x=$\frac{π}{6}$，
∴B選項(xiàng)對(duì)．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用已知條件求出f（x）解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．