Question

9．雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為C的焦點，A為雙曲線上一點，若|F₁A|=2|F₂A|，則cos∠AF₂F₁=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 由兩直線垂直的條件可得漸近線的斜率為2，即有b=2a，再求c=$\sqrt{5}$a，運用雙曲線的定義和條件，解得三角形
AF₂F₁的三邊，再由余弦定理，即可得到所求值．

解答 解：由于雙曲線的一條漸近線y=$\frac{a}$x與直線x+2y+1=0垂直，
則一條漸近線的斜率為2，
即有b=2a，c=$\sqrt{5}$a，
|F₁A|=2|F₂A|，且由雙曲線的定義，可得|F₁A|-|F₂A|=2a，
解得，|F₁A|=4a，|F₂A|=2a，
又|F₁F₂|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF₂F₁=$\frac{4{a}^{2}+4×5{a}^{2}-16{a}^{2}}{2×2a×2\sqrt{5}a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
故答案為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查兩直線的垂直的條件及余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．