Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}為等差數(shù)列，則a₂₀₁₇=2017•2^-2014．

Answer 1

分析 a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}為等差數(shù)列，求出首項(xiàng)與第二項(xiàng)可得nS_n+（n+2）a_n=4n．即nS_n+（n+2）a_n=4n．S_n=4-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}為等差數(shù)列，
∴首項(xiàng)為：1×1+3×1=4，第二項(xiàng)為：2×（1+1）+4×1=8，
公差為8-4=4．
∴nS_n+（n+2）a_n=4+4（n-1）=4n．
即nS_n+（n+2）a_n=4n．
∴S_n=4-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，
n≥2時(shí)，S_n-1=4-$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，
化為：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}×\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$，首項(xiàng)為4．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^3-n．
∴a_n=n•2^3-n．
則a₂₀₁₇=2017•2^-2014．
故答案為：2017•2^-2014．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．