Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-mx+m-1\;，\;x≥0\\ f（{x+2}）\;，\;x＜0\end{array}\right.$．
（Ⅰ）當(dāng)m=8時(shí)，求f（-4）的值；
（Ⅱ）當(dāng)m=8且x∈[-8，8]時(shí)，求|f（x）|的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)m∈[0，2]，都存在一個(gè)最大的正數(shù)K（m），使得當(dāng)x∈[0，K（m）]時(shí)，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此時(shí)相應(yīng)的m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過m=8時(shí)，直接利用分段函數(shù)求f（-4）的值；
（Ⅱ）當(dāng)m=8且x∈[-8，8]時(shí)，畫出函數(shù)的圖象，利用二次函數(shù)以及周期函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)|f（x）|的最大值；
（Ⅲ） ①當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x²-1（x≥0），轉(zhuǎn)化求解即可，②當(dāng)0＜m≤2時(shí)，求出對(duì)稱軸，要使得|f（x）|≤2，判斷f（x）=x²-mx+m-1（x≥0）與y=-2的位置關(guān)系，
通過比較根的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 （本小題滿分15分）
解：（Ⅰ） 當(dāng)m=8時(shí)，f（-4）=f（-2）=f（0）=7-------------------（2分）
（Ⅱ）函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-mx+m-1\;，\;x≥0\\ f（{x+2}）\;，\;x＜0\end{array}\right.$．
 0≤x≤8時(shí)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-8x+7，x≥0}\\{f（x+2），x＜0}\end{array}\right.$．
f（x）=x²-8x+7，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取得最小值-9，x=0或x=8時(shí)函數(shù)取得最大值：7，
f（x）∈[-9，7]--------------------（3分）
-8≤x＜0時(shí)，f（x）=f（x+2），如圖函數(shù)圖象，f（x）∈（-5，7]--------------------（4分）
所以x∈[-8，8]時(shí)，|f（x）|_max=9--------------------（5分）
（能清晰的畫出圖象說明|f（x）|的最大值為9，也給3分）

（Ⅲ） ①當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x²-1（x≥0），要使得|f（x）|≤2，
只需x²-1≤2，得$x≤\sqrt{3}$，即$K（m）=\sqrt{3}$，此時(shí)m=0-----------（7分）
②當(dāng)0＜m≤2時(shí)，對(duì)稱軸$x=\frac{m}{2}∈（{0\;，\;1}]$，要使得|f（x）|≤2，
首先觀察f（x）=x²-mx+m-1（x≥0）與y=-2的位置關(guān)系，
由x²-mx+m-1≥-2對(duì)于0＜m≤2恒成立，-----------（9分）
故K（m）的值為x²-mx+m-1=2的較大根x₂，
解得${x_2}=\frac{{m+\sqrt{{m^2}-4m+12}}}{2}$-----------（10分）
又${x_2}=\frac{{m-2+\sqrt{{m^2}-4m+12}}}{2}+1$=$\frac{{\sqrt{{m^2}-4m+12}-（2-m）}}{2}+1$
=$\frac{8}{{2[{\sqrt{{m^2}-4m+12}+（2-m）}]}}+1$-----------（12分）
故$K（m）=\frac{8}{{2[{\sqrt{{m^2}-4m+12}+（2-m）}]}}+1$，
則顯然K（m）在m∈（0，2]上為增函數(shù)，
所以${[{K（m）}]_{max}}=k（2）=1+\sqrt{2}$-----------（15分）
由①②可知，K（m）的最大值為$1+\sqrt{2}$，此時(shí)m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖形的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)以及周期函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．