Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知$B=\frac{π}{4}$，cosA-cos2A=0．
（1）求角C；
（2）若b²+c²=a-bc+2，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式即可求出A，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出C，
（2）根據(jù)余弦定理和b²+c²=a-bc+2，求出a，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面積公式即可求出

解答 解：（1）因?yàn)閏osA-cos2A=0，
所以2cos²A-cosA-1=0，
解得cosA=-$\frac{1}{2}$，cosA=1（舍去）．
所以$A=\frac{2}{3}π$，
又$B=\frac{π}{4}$，
所以$C=\frac{π}{12}$．
（2）在△ABC中，因?yàn)?A=\frac{2}{3}π$，由余弦定理
所以a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，
又b²+c²=a-bc+2，
所以a²=a+2，
所以a=2，
又因?yàn)?sinC=sin\frac{π}{12}=sin（{\frac{π}{3}-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$，
由正弦定理$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$
得$c=\frac{{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{3}$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ac•sinB=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理三角形的面積公式以及二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題