Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為C₁D₁，B₁C₁的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，求證：
（1）D、B、F、E四點(diǎn)共面；
（2）若A₁C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P、Q、R三點(diǎn)共線．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：

分析：（1）由已知得EF∥D₁B₁，BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，從而BB₁D₁D是平行四邊形，從而EF∥DB，由此能證明D、B、F、E共面．
（2）由已知得EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交線，R是EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一個(gè)公共點(diǎn)，由此能證明P、Q、R三點(diǎn)共線．

解答： 證明：（1）∵E、F分別為C₁D₁，B₁C₁的中點(diǎn)，
∴EF是△B₁C₁D₁的中位線，∴EF∥D₁B₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，
∴BB₁D₁D是平行四邊形，
∴DB∥DB₁，∴EF∥D₁B₁，
∴EF∥DB，∴D、B、F、E共面．
（2）∵AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，
∴EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交線，
∵A₁C交平面DBFE于R點(diǎn)，
∴R是EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一個(gè)公共點(diǎn)，
∵兩相交平面的所有公共點(diǎn)都在這兩平面的交線上，
∴P、Q、R三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評：本題考查四點(diǎn)共面的證明，考查三點(diǎn)共線的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．