Question

20．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，$∠ABC=\frac{π}{4}，SA⊥$底面ABCD，SA=2，M為SA的中點．
（1）求異面直線AB與MD所成角的大��；
（2）求直線AS與平面SCD所成角的正弦值；
（3）求平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在平面ABCD中，過點A作AF⊥AB，交CD與F，以A為原點，AB，AF，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB與MD所成角．
（2）求出平面SCD的法向量，利用向量法能求出直線AS與平面SCD所成角的正弦值．
（3）求出平面SCD的法向量和平面SAB的法向量，利用向量法能求出平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）在平面ABCD中，過點A作AF⊥AB，交CD與F，
以A為原點，AB，AF，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），B（1，0，0），M（0，0，1），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{MD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1），
設(shè)異面直線AB與MD所成角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{MD}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$α=\frac{π}{3}$．
∴異面直線AB與MD所成角為$\frac{π}{3}$．
（2）S（0，0，2），C（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
$\overrightarrow{AS}$=（0，0，2），$\overrightarrow{SC}$=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2），$\overrightarrow{SD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2），
設(shè)平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2$\sqrt{2}$，1），
設(shè)直線AS與平面SCD所成角為β，
則sinβ=|cos＜$\overrightarrow{AS}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AS}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AS}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2×3}$=$\frac{1}{3}$，
∴直線AS與平面SCD所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．
（3）∵平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，2$\sqrt{2}$，1），
平面SAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查線面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．