Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sinωx-$\sqrt{2}$cosωx（ω＜0），若y=f（x+$\frac{π}{4}$）的圖象與y=f（x-$\frac{π}{4}$）的圖象重合，記ω的最大值為ω₀，函數(shù)g（x）=cos（ω₀x-$\frac{π}{3}$）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�

• A． [-$\frac{1}{3}$π+$\frac{kπ}{2}$，-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）
• B． [-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）
• C． [-$\frac{1}{3}$π+2kπ，-$\frac{π}{12}$+2kπ]（k∈Z）
• D． [-$\frac{π}{12}$+2kπ，-$\frac{π}{6}$+2kπ]（k∈Z）

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)g（x）的增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sinωx-$\sqrt{2}$cosωx（ω＜0）=2sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
若y=f（x+$\frac{π}{4}$）的圖象與y=f（x-$\frac{π}{4}$）的圖象重合，
則$\frac{π}{2}$為函數(shù)f（x）的周期，即$\frac{π}{2}$=k•|$\frac{2π}{ω}$|，∴ω=±4k，k∈Z．
記ω的最大值為ω₀，則ω₀=-4，
函數(shù)g（x）=cos（ω₀x-$\frac{π}{3}$）=cos（-4x-$\frac{π}{3}$）=cos（4k+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-π≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
故函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．