Question

11．已知圓C：x²+y²-4x-6y+3=0，直線l：mx+2y-4m-10=0（m∈R）．當l被C截得的弦長最短時，m=2．

Answer 1

分析 由題意可得直線l經(jīng)過定點A（4，5）．要使直線l被圓C截得的弦長最短，需CA和直線l垂直，故有K_CA•K_l=-1，再利用斜率公式求得m的值．

解答 解：圓C：x²+y²-4x-6y+3=0，即（x-2）²+（y-3）²=10的圓心C（2，3）、半徑為$\sqrt{10}$，
直線l：mx+2y-4m-10=0，即 m（x-4）+（2y-10）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4=0}\\{2y-10=0}\end{array}\right.$，求得x=4，y=5，故直線l經(jīng)過定點A（4，5）．
要使直線l被圓C截得的弦長最短，需CA和直線l垂直，
故有K_CA•K_l=-1，即$\frac{5-3}{4-2}$•（-$\frac{m}{2}$）=-1，求得m=2，
故答案為2．

點評 本題主要考查直線過定點問題，直線和圓的位置關系，直線的斜率公式，屬于基礎題．