Question

7．已知拋物線y²=4x與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)F關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 8$\sqrt{2}$-8
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 由題意可知：B點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），AF⊥BF，則|AF|=2，A（1，2），代入橢圓方程，即可求得a的值，求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（-1，0），c=1，
由點(diǎn)B是點(diǎn)F關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則B（-1，0），
以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，
則AF⊥BF，
設(shè)A點(diǎn)在第一象限，
∴|AF|=2，
∴A（1，2），
∵點(diǎn)A在雙曲線上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1$，
∵c=1，b²=c²-a²，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$+1，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．