【題目】如果你留心使會(huì)發(fā)現(xiàn),汽車前燈后的反射鏡呈拋物線的形狀,把拋物線沿它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周,就會(huì)形成一個(gè)拋物面.這種拋物面形狀,正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡形狀,這種形狀使車燈既能夠發(fā)出明亮的、照射很遠(yuǎn)的平行光束,又能發(fā)出較暗的,照射近距離的光線.我們都知道常規(guī)的前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成,明亮的光束,是由位于拋物面形狀反射鏡焦點(diǎn)的光源射出的,燈泡位于拋物面的焦點(diǎn)上,燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射形成平行光束,再經(jīng)過配光鏡的散射、偏轉(zhuǎn)作用,以達(dá)到照亮路面的效果,這樣的燈光我們通常稱為遠(yuǎn)光燈:而較暗的光線,不是由反射鏡焦點(diǎn)的光源射出的,光線的行進(jìn)與拋物線的對(duì)稱軸不平行,光線只能向上和向下照射,所以照射距離并不遠(yuǎn),如果把向上射出的光線遮。嚐艟椭荒馨l(fā)出向下的、射的很近的光線了.請(qǐng)用數(shù)學(xué)的語言歸納表達(dá)遠(yuǎn)光燈的照明原理,并證明.

【答案】遠(yuǎn)光燈照明原理:由拋物線的焦點(diǎn)所在的光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與拋物線的對(duì)稱軸平行,證明見解析

【解析】

設(shè)為拋物線上一點(diǎn),法線與軸交于,反射光線為為拋物線的焦點(diǎn),的斜率,根據(jù)角的正切值,證明即可.

遠(yuǎn)光燈照明原理:由拋物線的焦點(diǎn)所在的光源發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與拋物線的對(duì)稱軸平行.

證明:不妨設(shè)拋物線方程為:y22pxp0),焦點(diǎn)為FP為拋物線上一點(diǎn),FP的反射光線為PN,

如圖所示:設(shè)拋物線過點(diǎn)P的切線為直線l,法線交x軸于M,

由光的反射性質(zhì)可知∠FPM=∠MPN

y22px,不妨設(shè)P在第一象限,P,y0),

當(dāng)y00時(shí),直線ly軸重合,顯然PNx軸重合,

當(dāng)y0≠0時(shí),設(shè)直線l的斜率為k,

則直線l的方程為:ykx+y0

代入拋物線方程可得:ky22pyky02+2py00,

4p24k2py0ky02)=0可得k,

故法線PM的斜率為

不妨設(shè)P在第一象限,設(shè)∠PMxα,∠PFMβ,∠NPMθ,

tanαtanβ,

tanθtanFPMtanαβ

tanθ+tanα0,故α+θπ,

PNx軸.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①衛(wèi)星向徑的取值范圍是

②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大,橢圓軌道越扁

③衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間

④衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小,在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大

其中正確的結(jié)論是(

A.①②B.①③C.②④D.①③④

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(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于 兩點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為, ,線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且 恰為函數(shù)的零點(diǎn),求證: .

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2)若垂直于軸,為曲線上一點(diǎn),求的取值范圍;

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1)求的通項(xiàng)公式;

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