Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．

（1）證明：D1E⊥A1D；
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；
（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1﹣EC﹣D的大小為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則 ，

設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．

則 =（1．x，﹣1）， ，

∴D1E⊥A1D；

（2）解：當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E（1，1，0）， ，

設(shè)平面ACD1的法向量是 ，

求出 ， ，

由 ，得

∵ =（1，1，﹣1）

由點(diǎn)到平面的距離公式，得 ，

∴點(diǎn)E到面ACD1的距離是 ．

（3）解：設(shè)平面D1EC的法向量 =（a，b，c），

∴ =（1，x﹣2，0）， =（0，2，﹣1）， =（0，0，1）．

由 ．

令b=1，

∴c=2，a=2﹣x．∴ =（2﹣x，1，2）．

依題意：cos = = ，

即 = ，

平方得（x﹣2）2= ，

∴ （不合題意，舍去）， ．

∴ 時(shí)，二面角D1﹣EC﹣D的大小為 ．

【解析】（1）建立如圖的坐標(biāo)系，則 ，設(shè)E（1，t，0），則 ，通過(guò)向量的數(shù)量積為0，計(jì)算可得D1E⊥A1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E（1，1，0）， ，求出平面ACD1的一個(gè)法向量，最后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)E到面ACD1的距離．（3）求出平面的法向量，利用二面角的夾角關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．