【題目】如圖，過(guò)拋物線（）上一點(diǎn)，作兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)，，若與的斜率滿足.

（1）證明：直線的斜率為定值，并求出該定值；

（2）若直線在軸上的截距，求面積的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.

【解析】

（1）由拋物線（）過(guò)點(diǎn)，求得，設(shè)，，由，得到，利用點(diǎn)差法可得（）=，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，，利用點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式，由三角形面積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可得三角形面積的最大值.

（1）由拋物線（）過(guò)點(diǎn)，得，即.

設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，，代入上式得到，

通分整理得，

設(shè)直線的斜率為，由，，

兩式相減可化為

得（）=.

由于，將其代入上式得.

（2）設(shè)直線的方程為，

由，

得，

因?yàn)?/span>，所以，且，，

所以.

又點(diǎn)到直線的距離為，

所以.

令，其中，

則由，

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)，，所以單調(diào)遞增，故的最大值為，

故的面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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分?jǐn)?shù)段

1∶1

2∶1

3∶4

4∶5

(1)求圖中的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分；

(3)若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>之外的人數(shù).

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【題目】為了解某班學(xué)生喜好體育運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

喜好體育運(yùn)動(dòng)

不喜好體育運(yùn)動(dòng)

合計(jì)

男生

5

女生

10

合計(jì)

50

已知按喜好體育運(yùn)動(dòng)與否，采用分層抽樣法抽取容量為10的樣本，則抽到喜好體育運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為6.

（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為喜好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？說(shuō)明理由.

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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【題目】如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角D1－AC－B1的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn)．若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長(zhǎng)．

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【題目】已知函數(shù)，其圖象與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若將的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時(shí)，在上的單調(diào)區(qū)間.

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