Question

已知點(diǎn)O、N、P在△ABC所在的平面內(nèi)，

NA

+

NB

+

NC

=

O

且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，則點(diǎn)O、N、P依次是△ABC的

外心

、

重心

、

垂心

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|可得O為△ABC的外心；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量共線定理，可證出N為△ABC的三條中線的交點(diǎn)，得N為△ABC的重心；根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與向量減法法則，結(jié)合

PA

•

PB

=

PB

•

PC

證出

CA

⊥

PB

，同理

CB

⊥

PA

且

AB

⊥

PC

，因此P為P為△ABC的垂心．

解答：解：①若|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，則點(diǎn)O到A、B、C三點(diǎn)的距離相等，
∴O為△ABC的外接圓的圓心，即外心；
②若

NA

+

NB

+

NC

=

O

，則

NA

+

NB

=-

NC

，
以NA、NB為鄰邊作平行四邊形NAGB，
可得GN、AB的交點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且E、N、C三點(diǎn)共線．
因此，CE為△ABC的中線．同理可得BN、AN也在△ABC的中線上．
∴點(diǎn)N為△ABC的三條中線的交點(diǎn)，可得N為△ABC的重心；
③若

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，
可得

PA

•

PB

-

PB

•

PC

=0，即(

PA

-

PC

)•

PB

=0，
∴

CA

•

PB

=0，可得

CA

⊥

PB

，點(diǎn)P在AC邊上的高所在直線上．
同理可得點(diǎn)P也在AB、BC邊上的高所在直線上．
因此，P是△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)，即得P為△ABC的垂心．
綜上所述，點(diǎn)O、N、P依次是△ABC的外心、重心、垂心．
故答案為：外心、重心、垂心

點(diǎn)評：本題給出三角形中的點(diǎn)滿足的向量式，求該點(diǎn)是三角形“五心”中的哪一個(gè)．著重考查了向量的加法、減法法則和向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)等知識，考查了向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．