Question

16．已知△ABC是邊長為$2\sqrt{3}$的正三角形，PQ為△ABC外接圓O的一條直徑，M為△ABC邊上的動點，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{MQ}$的最大值是3．

Answer 1

分析 以邊AB所在直線為x軸，以AB的中點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，
對點M的取值情況分三種情形進行討論，再運用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的最值求法，求其最大值．

解答 解：以邊AB所在直線為x軸，
以AB的中點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；
∵正三角形ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），C（0，3），
P（0，-1），Q（0，3），
當(dāng)點M在邊AB上時，設(shè)點M（x₀，0），則-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₀，1），$\overrightarrow{MQ}$=（-x₀，3），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$=-x₀²+3，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴x₀=0時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$取得最大值為3；
當(dāng)點M在邊BC上時，
直線BC的斜率為-$\sqrt{3}$，
直線BC的方程為：$\sqrt{3}$x+y-3=0，
設(shè)點M（x₀，3-$\sqrt{3}$x₀），則0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₀，4-$\sqrt{3}$x₀），$\overrightarrow{MQ}$=（-x₀，$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4x₀²+4$\sqrt{3}$x₀，
∵0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴x₀=0時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$取得最大值為0；
當(dāng)點M在邊AC上時，
直線AC的斜率為$\sqrt{3}$，
∴直線AC的方程為：$\sqrt{3}$x-y+3=0，
設(shè)點M（x₀，3+$\sqrt{3}$x₀），則-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₀，4+$\sqrt{3}$x₀），$\overrightarrow{MQ}$=（-x₀，-$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4x₀²-4$\sqrt{3}$x₀，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∴當(dāng)x₀=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$取得最大值為3；
綜上，$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{MQ}$的最大值為3．
故答案為：3．

點評 本題重點考查了平面向量的基本運算、數(shù)量積的運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．