Question

4．已知△ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，且b=$\sqrt{3}$．?dāng)?shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)a₁=$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{sinA}{a}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的三個(gè)角A，B，C成等差數(shù)列，得B，由$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}=\frac{1}{2}$得公比；
（2）${b_n}=-\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{a_n}=n•{2^n}$，用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答 解：（1）∵△ABC的三個(gè)角A，B，C成等差數(shù)列，∴B=60°，$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}=\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）${b_n}=-\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{a_n}=n•{2^n}$
 S_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ；
 2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2--n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
則s_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)及用錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．