【題目】長方形中,,是中點(圖1).將沿折起,使得(圖2)在圖2中:
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存點,使得二面角的余弦值為,說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)存在,理由見解析
【解析】
(1)利用勾股定理與線面垂直的性質(zhì)證明平面即可.
(2) 以為坐標原點,為軸,為軸,過作平面的垂線為軸,建立空間直角坐標系. 設(shè),再根據(jù)二面角的向量方法,分別求解面的法向量,再根據(jù)法向量的夾角求解即可.
(1)在長方形中,連結(jié),因為,是中點,
所以,從而,
所以
因為,,
所以平面.
因為平面,
所以平面平面.
(2)因為平面平面,交線是,
所以在面過垂直于的直線必然垂直平面.
以為坐標原點,為軸,為軸,過作平面的垂線為軸,
建立空間直角坐標系.
則,,,.設(shè),則.
設(shè)是平面的法向量,
則,即,取,
平取面的一個法向量是.
依題意,
即,解方程得,
因此在線段上存點,使得二面角的余弦值為.
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【題目】有下列命題:
①在函數(shù)的圖象中,相鄰兩個對稱中心的距離為;
②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;
③“且”是“”的必要不充分條件;
④在中,若,則角等于或.
其中是真命題的序號為_____________.
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【題目】已知平面上一動點P到定點C(1,0)的距離與它到直線的距離之比為.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)點O是坐標原點,A,B兩點在點P的軌跡上,F是點C關(guān)于原點的對稱點,若,求的取值范圍.
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【題目】謝爾賓斯基三角形(Sierpinski triangle)是一種分形,由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出.在一個正三角形中,挖去一個“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”,我們用白色三角形代表挖去的部分,黑色三角形為剩下的部分,我們稱此三角形為謝爾賓斯基三角形.若在圖(3)內(nèi)隨機取一點,則此點取自謝爾賓斯基三角形的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一個正整數(shù),則實數(shù)k的取值范圍為 ( 。
A. [ ,)B. (,]
C. [)D. [)
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【題目】某化工企業(yè)2018年年底投入100萬元,購入一套污水處理設(shè)備。該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元,此外,每年都要花費一定的維護費,第一年的維護費為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護費都比上一年增加2萬元。設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備年的年平均污水處理費用為(單位:萬元)
(1)用表示;
(2)當該企業(yè)的年平均污水處理費用最低時,企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備。則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備。
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【題目】工廠抽取了在一段時間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品,測量一項質(zhì)量指標值,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)計算該樣本的平均值,方差;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)
(2)若質(zhì)量指標值在之內(nèi)為一等品.
(i)用樣本估計總體,問該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品是否有以上為一等品?
(ii)某天早上、下午分別抽檢了50件產(chǎn)品,完成下面的表格,并根據(jù)已有數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認為一等品率與生產(chǎn)時間有關(guān)?
一等品個數(shù) | 非一等品個數(shù) | 總計 | |
早上 | 36 | 50 | |
下午 | 26 | 50 | |
總計 |
附:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考數(shù)據(jù):.
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【題目】隨著手機的發(fā)展,“微信”逐漸成為人們支付購物的一種形式.某機構(gòu)對“使用微信支付”的態(tài)度進行調(diào)查,隨機抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信支付”贊成人數(shù)如下表.
年齡 (單位:歲) | , | , | , | , | , | , |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“使用微信支付”的態(tài)度與人的年齡有關(guān);
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若從年齡在的被調(diào)查人中按照贊成與不贊成分層抽樣,抽取5人進行追蹤調(diào)查,在5人中抽取3人做專訪,求3人中不贊成使用微信支付的人數(shù)的分布列和期望值.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中.
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