Question

一輛郵政車自A城駛往B城，沿途有n個車站（包括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B），每�？恳徽颈阋�卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋各一個，同時又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個，設(shè)該車從各站出發(fā)時郵政車內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個有窮數(shù)列{a_k}，（k=1，2，3，…，n）．試求：
（1）a₁，a₂，a₃
（2）郵政車從第k站出發(fā)時，車內(nèi)共有郵袋數(shù)是多少個？
（3）求數(shù)列{a_k}的前 k項(xiàng)和S_K并證明：S_K＜

1

6

n3．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意即可得出：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，…；
（2）由于在第k站出發(fā)時，前面放上的郵袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）個，而從第二站起，每站放下的郵袋共：1+2+3+…+（k-1）個，即可得出a_k；
（3））利用a_k=kn-k²，可得Sk=(n+2n+…+kn)-(12+22+…+k2)，由于a_k＞0，可知：S_k單調(diào)遞增，即可得出．

解答： 解：（1）由題意得：
a₁=n-1，
a₂=（n-1）+（n-2）-1，
a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2．
（2）在第k站出發(fā)時，前面放上的郵袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）個，
而從第二站起，每站放下的郵袋共：1+2+3+…+（k-1）個，
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k-1）]
=kn-

1

2

k(k+1)-

1

2

k(k-1)
=kn-k²（k=1，2，…，n）．
即郵政車從第k站出發(fā)時，車內(nèi)共有郵袋數(shù)kn-k²（k=1，2，…n）個
（3）∵a_k=kn-k²，
∴Sk=(n+2n+…+kn)-(12+22+…+k2)，
∵a_k=k（n-k）＞0，
∴S_k單調(diào)遞增，
∴Sk≤Sn=

n3-n

6

＜

1

6

n3．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．