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5.如圖,已知F是拋物線x2=2py(p>0)的焦點,O為坐標原點,過點O、F的圓的圓心為Q,點Q到拋物線準線的距離為32.過點F的直線l交拋物線于A,B兩點,過A,B分別作拋物線的切線,兩切線交點為M.
(1)求拋物線的方程;
(2)求MFMB-MFMA的值.

分析 (1)根據垂徑定理可知圓心O在直線y=p4上,根據O到準線的距離列方程解出p,得出拋物線方程;
(2)求出切線方程,聯(lián)立方程組解出M的坐標,得出向量MFAB的坐標,帶入向量的數量積公式運算.

解答 解:(1)拋物線的準線方程為y=-p2,焦點F(0,p2).
∵圓O經過O,F(xiàn),∴O在直線y=p4上.
∴O到拋物線的準線的距離d=p2+p4=32,∴p=2.
∴拋物線的方程為x2=4y.
(2)設A(x1,x124),B(x2x224).
由x2=4y得y=x24,∴y′=x2
∴直線AM的方程為y-x124=x12(x-x1),即y=x12xx124,
直線BM的方程為y-x224=x22(x-x2),即y=x22x-x224
聯(lián)立方程組{y=x12xx124y=x22xx224,解得M(x1+x22,-1).
MF=(-x1+x22,2),AB=(x2-x1,x22x124),
MFMB-MFMA=MFMBMA)=MFAB=x12x222+x22x122=0.

點評 本題考查了拋物線的性質,曲線的交點坐標,切線方程,屬于中檔題.

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