Question

17．已知Rt△ABC中，$∠A=\frac{π}{2}$，以B，C為焦點的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）經(jīng)過點A，且與AB邊交于點D，若|AD|=2|BD|，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)|BD|=t，則|AD|=2t，|AB|=3t，運用雙曲線的定義，可得|AC|，|DC|，再分別在直角三角形ACD和直角三角形ACB中，運用勾股定理，結(jié)合雙曲線的離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：如圖，設(shè)|BD|=t，則|AD|=2t，|AB|=3t，
由雙曲線的定義可得|AC|=|AB|-2a=3t-2a，
由雙曲線的定義可得|DC|=|DB|+2a=2a+t，
在直角三角形ACD中，
|AC|²+|AD|²=|CD|²，
即為（3t-2a）²+4t²=（2a+t）²，
化簡可得3t=4a，
在直角三角形ACB中，
|AC|²+|AB|²=|CB|²，
即為（3t-2a）²+9t²=（2c）²，
即有4a²+16a²=4c²，即為c²=5a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用定義法和方程思想，以及直角三角形的勾股定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．