Question

13．如圖，在三棱錐A-BCD中，AD=DC=2，AD⊥DC，AC=CB，AB=4，平面ADC⊥平面ABC，M為AB的中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ADC；
（Ⅱ）求直線AD與平面DMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥AC，利用平面ABC⊥平面ADC，即可證明：BC⊥平面ADC；
（Ⅱ）取AC中點N，連MN，DN．由V_A-DMC=V_D-AMC得點A到平面DMC的距離，即可求直線AD與平面DMC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵AD=DC=2且AD⊥DC，∴$AC=CB=2\sqrt{2}$，
又AB=4，滿足AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC…（4分）
∵平面ABC⊥平面ADC，BC?平面ABC，平面ABC∩平面ADC=AC，
∴BC⊥平面ADC…（6分）
（Ⅱ）解：取AC中點N，連MN，DN．
在Rt△ADC中，DN⊥AC且$DN=\sqrt{2}$，又平面ABC⊥平面ADC，∴DN⊥平面ABC，
在△ABC中，MN∥BC且$MN=\frac{1}{2}BC$=$\sqrt{2}$
由（Ⅰ）知BC⊥平面ADC，則MN⊥平面ADC，
又∵DN?平面ADC，∴MN⊥DN，即$DM=\sqrt{D{N^2}+M{N^2}}=2$，…（8分）
在△ABC中，$AC=BC=2\sqrt{2}，AB=4∴CM=2$，∴${S_△}_{DMC}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×4=\sqrt{3}$…（10分）
設點A到平面DMC的距離為h，則由V_A-DMC=V_D-AMC得$\frac{1}{3}×{S_{△DMC}}×h=\frac{1}{3}×{S_{△AMC}}×DN$
解得$h=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
設AD與平面DMC所成角為θ，則$sinθ=\frac{h}{AD}=\frac{{\frac{2}{3}\sqrt{6}}}{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴直線AD與平面DMC所成角正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定，考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查體積的計算，屬于中檔題．