Question

3．已知點P（x，y）滿足線性約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2}\\{x+y≥1}\\{x-y≤1}\end{array}\right.$，點M（3，1），O為坐標原點，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為11．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用數(shù)量積的坐標運算得到目標函數(shù)，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2}\\{x+y≥1}\\{x-y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

∵M（3，1），∴z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=3x+y，化為y=-3x+z，
由圖可知，當直線y=-3x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得A（3，2）．
∴z的最大值為3×3+2=11．
故答案為：11．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．