Question

8．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，且滿(mǎn)足a₅≤6，S₃≥9，則a₆的取值范圍是（3，7]．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得d＞0．根據(jù)滿(mǎn)足a₅≤6，S₃≥9，可得a₁+4d≤6，3a₁+3d≥9，即-a₁-d≤-3，0＜d≤1，a₂≥3．即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴d＞0．
∵滿(mǎn)足a₅≤6，S₃≥9，∴a₁+4d≤6，3a₁+3d≥9，即-a₁-d≤-3，
相加可得3d≤3，即d≤1，又d＞0，∴0＜d≤1，
-a₁-d≤-3，∴a₁≥3-d，∴a₂≥3．
∴a₆=a₁+5d=$\frac{4}{3}$（a₁+4d）+$\frac{1}{3}$（-a₁-d）≤8-1=7，
a₆=a₂+4d＞3．
可得：a₆∈（3，7]．
故答案為：（3，7]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的性質(zhì)與解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．