Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足4nS_n=（n+1）²a_n．a(chǎn)₁=1
（1）求a_n；
（2）設b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由題意求出S_n和S_n-1，代入關系式a_n=S_n-S_n-1（n≥2）化簡求出a_n，并驗證n=1時是否成立；
（2）由（1）化簡b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求出b₁和b₂，當n≥3時利用放縮法得：b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，由裂項相消法證明結論成立．

解答 解：（1）由題意得，4nS_n=（n+1）²a_n（n∈N^*），
則 ${S}_{n}=\frac{（n+1）^{2}{a}_{n}}{4n}$，
∴當n≥2時，${S}_{n-1}=\frac{{n}^{2}{a}_{n-1}}{4（n-1）}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{（n+1）}^{2}{a}_{n}}{4n}$-$\frac{{n}^{2}{a}_{n-1}}{4（n-1）}$，即$\frac{{n}^{2}{a}_{n-1}}{4（n-1）}=\frac{（{n-1）}^{2}{a}_{n}}{4n}$
化簡得$\frac{{a}_{n}}{{n}^{3}}=\frac{{a}_{n-1}}{（n-1）^{3}}$=1，則${a}_{n}={n}^{3}$，
又a₁=1，也滿足上式，∴${a}_{n}={n}^{3}$（n∈N^*）；…（6分）
證明：（2）由（1）得，b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴b₁=1，b₂=$\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{1}{4}$，
∵當n≥3時，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜1+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）…（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）
=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$      …（12分）

點評 本題考查數(shù)列遞推式的化簡及應用，考查等價轉化思想，裂項相消法求數(shù)列的和，以及放縮法證明不等式成立，綜合性強、難度大，屬于難題．