Question

20．已知函數(shù)f（x）=log₂（$\frac{1+mx}{2x-1}$）-x（m為常數(shù)）是奇函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法證明你的結(jié)論；
（2）若對(duì)于區(qū)間[2，5]上的任意x值，使得不等式f（x）≤2^x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出m的值，求出f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2^x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出n的范圍即可．

解答 解：（1）由條件可得f（-x）+f（x）=0，即  ${log_2}（{\frac{1-mx}{-2x-1}}）+{log_2}（{\frac{1+mx}{2x-1}}）=0$，
化簡(jiǎn)得1-m²x²=1-4x²，從而得m=±2；由題意m=-2舍去，
所以m=2，即$f（x）={log_2}（{\frac{1+2x}{2x-1}}）-x$，$f（x）在x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$上為單調(diào)減函數(shù)；
證明如下：設(shè)$\frac{1}{2}＜{x_1}＜{x_2}＜+∞$，則f（x₁）-f（x₂）=log₂（$\frac{1+{2x}_{1}}{{2x}_{1}-1}$）-x₁-log₂（$\frac{1+{2x}_{2}}{{2x}_{2}-1}$）+x₂，
因?yàn)?\frac{1}{2}$＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，2x₁-1＞0，2x₂-1＞0；
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以函數(shù)f（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2^x，由（1）得f（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，
所以g（x）=f（x）-2^x在[2，5]上單調(diào)遞減；
所以g（x）=f（x）-2^x在[2，5]上的最大值為$g（2）={log_2}^{\frac{5}{3}}-6$，
由題意知n≥g（x）在[2，5]上的最大值，所以$n≥{log_2}^{\frac{5}{3}}-6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．