Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若不等式f（x）＞log₉（2c-1）有解，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（2）f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），不等式f（x）＞log₉（2c-1）有解，可得$\frac{1}{2}$＞log₉（2c-1），即可求c的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{1}{2}•\frac{-{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}+1}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
∵不等式f（x）＞log₉（2c-1）有解，
∴$\frac{1}{2}$＞log₉（2c-1），
∴0＜2c-1＜3，
∴$\frac{1}{2}＜c＜2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇函數(shù)的定義，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．