Question

11．給定直線l：y=2x-16，拋物線G：y²=ax（a＞0）
（1）當拋物線G的焦點在直線l上時，求a的值；
（2）若△ABC的三個頂點都在（1）所確定的拋物線G上，且點A的縱坐標y_A=8，△ABC的重心恰是拋物線G的焦點F，求直線BC的方程．

Answer 1

分析 （1）由拋物線G：y²=ax（a＞0）的焦點在x軸上，且其坐標為$（\frac{a}{4}，0）$，對方程y=2x-16，令y=0得x=8，可得$\frac{a}{4}=8$，解得a．
（2）由（1）知：拋物線G的方程是y²=32x，F(xiàn)（8，0）．點A在拋物線G上，且y_A=8，可得A（2，8）．延長AF交BC于點D，則由點F是△ABC的重心得：點D為線段BC的中點．設(shè)點D（x，y），由$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FD}$，可得：D．設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由點B，C在拋物線y²=32x上得：代入拋物線方程相減得：$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}×（{y_1}+{y_2}）=32$，進而得出．

解答 解：（1）∵拋物線G：y²=ax（a＞0）的焦點在x軸上，且其坐標為$（\frac{a}{4}，0）$，
∴對方程y=2x-16，令y=0得x=8，
從而由已知得$\frac{a}{4}=8$，a=32．
（2）由（1）知：拋物線G的方程是y²=32x，F(xiàn)（8，0）．
又∵點A在拋物線G上，且y_A=8，∴A（2，8）．
延長AF交BC于點D，則由點F是△ABC的重心得：點D為線段BC的中點．
設(shè)點D（x，y），則由$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FD}$得（8-2，0-8）=2（x-8，y-0），解之得：$\left\{\begin{array}{l}x=11\\ y=-4\end{array}\right.$．
∴D（11，-4）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則由點B，C在拋物線y²=32x上得：$\left\{\begin{array}{l}y_1^2=32{x_1}\\ y_2^2=32{x_2}\end{array}\right.$，
兩式相減得：$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}×（{y_1}+{y_2}）=32$，
又由點D為線段BC的中點得y₁+y₂=-8，k_BC=-4．
∴直線BC方程為y-（-4）=-4（x-11），即4x+y-40=0．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、中點坐標公式、直線方程、三角形重心性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．