Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，以為邊做菱形，且菱形對角線的交點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)，其中，作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，求得菱形中心的坐標(biāo)，進(jìn)而由中心為中點(diǎn)，求得點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)形式，即可消參求得點(diǎn)的軌跡方程；

（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得點(diǎn)處的切線方程，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此求得之間的關(guān)系，再結(jié)合，即可表示出面積，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域即可.

（1）設(shè)，菱形的中心設(shè)為Q點(diǎn)，且在軸上，

由題意可得

則又為的中點(diǎn)，因此點(diǎn)，

即點(diǎn)的軌跡為（為參數(shù)且）

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)的切線方程為.

可得

因此由，可得

又則

即

因此

令，則，故為單調(diào)增函數(shù)，

故可知當(dāng)時(shí)，為關(guān)于的增函數(shù)，

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此的取值范圍是.