Question

9．給定數(shù)列{a_n}，若滿足a₁=a（a＞0且a≠1），對于任意的n，m∈N^*，都有a_n+m=a_n•a_m，則稱數(shù)列{a_n}為指數(shù)數(shù)列．
（1）已知數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式分別為${a_n}=3•{2^{n-1}}$，${b_n}={3^n}$，試判斷{a_n}，{b_n}是不是指數(shù)數(shù)列（需說明理由）；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=4，a_n+2=3a_n+1-2a_n，證明：{a_n}是指數(shù)數(shù)列；
（3）若數(shù)列{a_n}是指數(shù)數(shù)列，${a_1}=\frac{t+3}{t+4}$（t∈N^*），證明：數(shù)列{a_n}中任意三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用指數(shù)數(shù)列的定義，判斷即可；
（2）求出{a_n}的通項公式為${a_n}={2^n}$，即可證明：{a_n}是指數(shù)數(shù)列；
（3）利用反證法進(jìn)行證明即可．

解答 （1）解：對于數(shù)列{a_n}，因為a₃=a₁₊₂≠a₁•a₂，所以{a_n}不是指數(shù)數(shù)列．   …（2分）
對于數(shù)列{b_n}，對任意n，m∈N^*，因為${b_{n+m}}={3^{n+m}}={3^n}•{3^m}={b_n}•{b_m}$，
所以{b_n}是指數(shù)數(shù)列．  …（4分）
（2）證明：由題意，a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
所以數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為a₂-a₁=2，公比為2的等比數(shù)列．  …（2分）
所以${a_{n+1}}-{a_n}={2^n}$．所以，${a_n}=（{a_n}-{a_{n-1}}）+（{a_{n-1}}-{a_{n-2}}）+…+（{a_2}-{a_1}）+{a_1}={2^{n-1}}+{2^{n-2}}+…+2+2$
=$\frac{{2（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}+2={2^n}$，即{a_n}的通項公式為${a_n}={2^n}$（n∈N^*）．  …（5分）
所以${a_{n+m}}={2^{n+m}}={2^n}•{2^m}={a_n}•{a_m}$，故{a_n}是指數(shù)數(shù)列． …（6分）
（3）證明：因為數(shù)列{a_n}是指數(shù)數(shù)列，故對于任意的n，m∈N^*，有a_n+m=a_n•a_m，令m=1，則${a_{n+1}}={a_n}•{a_1}=\frac{t+3}{t+4}•{a_n}$，所以{a_n}是首項為$\frac{t+3}{t+4}$，公比為$\frac{t+3}{t+4}$的等比數(shù)列，
所以，${a_n}={（{\frac{t+3}{t+4}}）^n}$．  …（2分）
假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在三項a_u，a_v，a_w構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)u＜v＜w，
則由2a_v=a_u+a_w，得$2{（{\frac{t+3}{t+4}}）^v}={（{\frac{t+3}{t+4}}）^u}+{（{\frac{t+3}{t+4}}）^w}$，
所以2（t+4）^w-v（t+3）^v-u=（t+4）^w-u+（t+3）^w-u，…（3分）
當(dāng)t為偶數(shù)時，2（t+4）^w-v（t+3）^v-u是偶數(shù)，而（t+4）^w-u是偶數(shù)，（t+3）^w-u是奇數(shù)，
故2（t+4）^w-v（t+3）^v-u=（t+4）^w-u+（t+3）^w-u不能成立； …（5分）
當(dāng)t為奇數(shù)時，2（t+4）^w-v（t+3）^v-u是偶數(shù)，而（t+4）^w-u是奇數(shù)，（t+3）^w-u是偶數(shù)，
故2（t+4）^w-v（t+3）^v-u=（t+4）^w-u+（t+3）^w-u也不能成立．…（7分）
所以，對任意t∈N^*，2（t+4）^w-v（t+3）^v-u=（t+4）^w-u+（t+3）^w-u不能成立，
即數(shù)列{a_n}的任意三項都不成構(gòu)成等差數(shù)列．   …（8分）

點評 本題考查指數(shù)數(shù)列的定義，考查反證法的運用，正確理解與運用新定義是關(guān)鍵．