Question

函數(shù)f（x）=

1-sinx

3-2cosx-sinx

（0≤x≤2π） 的最大值是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的概念及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：函數(shù)f（x）=

1-sinx

3-2cosx-sinx

（0≤x≤2π）為非負，則y²=

(1-sinx)2

3-2cosx-sinx

，求出導數(shù)，化簡整理因式分解，
令它為0，求得sinx=1，或sinx+2cosx=1．代入函數(shù)f（x）化簡得到0（舍去）和

2

cosx，再由平方關(guān)系，即可得到cosx，從而得到最大值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1-sinx

3-2cosx-sinx

（0≤x≤2π）為非負，
則y²=

(1-sinx)2

3-2cosx-sinx

，
則y²的導數(shù)是

2(1-sinx)(-cosx)(3-2cosx-sinx)

(3-2cosx-sinx)2

-

(1-sinx)2•(2sinx-cosx)

(3-2cosx-sinx)2

，
=

(1-sinx)(cosx-2)(sinx+2cosx-1)

(3-2cosx-sinx)2

，
令導數(shù)為0，則sinx=1，或sinx+2cosx=1．
當sinx=1，f（x）=0，為最小值，
當sinx+2cosx=1時，設(shè)方程的根為m，
則導數(shù)在x=m處附近左正右負，為極大值點，也為最大值點．
即有f（m）=

2cosm

3-1

=

2

cosm，
由sin²m+cos²m=1，解得cosm=0（舍去）或

4

5

，
則f（m）=

4 2

5

．
故答案為：

4 2

5

．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值的求法，考查運用導數(shù)的方法求最值，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．