Question

16．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y-1≤0\end{array}\right.$，則z=x²+y²的取值范圍為$[{\frac{9}{10}，9}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用圖象判斷，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值．

解答 解：畫出$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y-1≤0\end{array}\right.$的可行域如圖所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），
若目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方．由圖形可知僅在點(diǎn)（3，0）取得最大值，z=9．
由圖知，原點(diǎn)到直線x+3y-3=0的距離最小，d=$\frac{|-3|}{\sqrt{1+9}}$，
可得z=x²+y²=d²=$\frac{9}{10}$．
則z=x²+y²的取值范圍為：[$\frac{9}{10}$，9]．
故答案為：[$\frac{9}{10}$，9]．

點(diǎn)評(píng) 用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．判斷幾何意義，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．