Question

7．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為M，$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=-2．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)（-2，0）的直線l與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與圓N：x²+（y-3）²=4交于P，Q兩點(diǎn)，若△MAB的面積為$\frac{6}{5}$，$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，求正數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），M（b，0），由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=-2，得2b²-a²=-2，再由離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、韋長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、三角形面積公式，結(jié)合已知條件能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由已知，不妨設(shè)F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），M（b，0），
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-b，-c）•（-b，c）=b²-c=-2，即2b²-a²=-2，
又∵${e}^{2}=1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，∴b²=1，a²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）依題設(shè)，如圖，直線l的斜率存在，設(shè)l：y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0，
△=（4k²）²-4（k²+4）（4k²-4）＞0，即3k²-4＜0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{4-3{k}^{2}}}{{k}^{2}+4}$，
點(diǎn)M到直線l的距離為d=$\frac{3|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴${S}_{△MAB}=\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{6|k|\sqrt{4-3{k}^{2}}}{{k}^{2}+4}$=$\frac{6}{5}$，
整理得19k⁴-23k²+4=0，解得k²=1或k²=$\frac{4}{19}$，
又由直線l與圓相交，有d₁=$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，解得k＞$\frac{5}{12}$，
依題設(shè)，直線l與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，∴必有k＞$\frac{1}{2}$．∴k=1．
此時(shí)|AB|=$\sqrt{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，|PQ|=2$\sqrt{4-{c2ae0mi_{1}}^{2}}$=2×$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴正數(shù)$λ=\frac{|AB|}{|PQ|}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}×\frac{1}{\sqrt{14}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查根的判別式、韋達(dá)定理、韋長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、三角形面積公式、橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．