Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-4|，g（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）＜g（x）；
（2）若2f（x）+g（x）＞ax對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）＜g（x）等價(jià)于（x-4）²＜（2x+1）²，從而求得不等式f（x）＜g（x）的解集．
（2）由題意2f（x）+g（x）＞ax對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即H（x）的圖象恒在直線G（x）=ax的上，即可求得a的范圍．

解答 解：（1）f（x）＜g（x）等價(jià)于（x-4）²＜（2x+1）²，∴x²+4x-5＞0，
∴x＜-5或x＞1，
∴不等式的解集為{x|x＜-5或x＞1}；
（2）令H（x）=2f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-7，x＞4}\\{9，-\frac{1}{2}≤x≤4}\\{-4x+7，x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，G（x）=ax，
2f（x）+g（x）＞ax對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即H（x）的圖象恒在直線G（x）=ax的上方．
故直線G（x）=ax的斜率a滿足-4≤a＜$\frac{9}{4}$，即a的范圍為[-4，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，帶由絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．