Question

19．已知A，B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的公共頂點，其中a＞b＞0，P是雙曲線上的動點，M是橢圓上的動點（P，M都異于A，B），且滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）（λ∈R），設(shè)直線AP，BP，AM，BM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，若k₁+k₂=$\sqrt{3}$，則k₃+k₄=-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)出點P、M的坐標(biāo)，代入雙曲線和橢圓的方程，再利用已知滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）（λ∈R），滿足及其斜率的計算公式即可求出．

解答 解：設(shè)A（-a，0），B（a，0）．設(shè)P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）（λ∈，其中λ∈R，
∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化為x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都異于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$．
由k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}=\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{3}$，…①
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$…②
由①②得$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{2^{2}}$
k₃+k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+a}=\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{a}^{2}}$，又∵$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴k₃+k₄=-$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}×\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$=-$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}×\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{2^{2}}=-\sqrt{3}$．
故答案為：-$\sqrt{3}$

點評 熟練掌握點在曲線上的意義、雙曲線和橢圓的方程、向量的運算性質(zhì)、斜率的計算公式是解題的關(guān)鍵，同時本題需要較強的計算能力，屬于難題．