Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-$\frac{2}{3}$ax³（a＞0），x∈R．求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：由已知，有f′（x）=2x-2ax²（a＞0）．令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	0	遞增	$\frac{1}{{3a}^{2}}$	遞減

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$）；單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0），（$\frac{1}{a}$，+∞），
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有極小值，且極小值f（0）=0；
當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）有極大值，且極大值f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{{3a}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．