Question

2．若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩個點A、B關于原點對稱，則稱點對[A，B]為y=f（x）的“友情點對”，點對[A，B]與[B，A]可看作同一個“友情點對”，若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2，x＜0\\-{x^3}+6{x^2}-9x+a，x≥0\end{array}\right.$恰好有兩個“友情點對”，則實數(shù)a的值為2．

Answer 1

分析 由對稱可知f（x）=-2在（0，+∞）上有兩解，分離參數(shù)得a=x³-6x²+9x-2，作出函數(shù)圖象，根據(jù)解的個數(shù)得出a的范圍．

解答 解：由題意可知-x³+6x²-9x+a=-2在（0，+∞）上有兩解，
即a=x³-6x²+9x-2在（0，+∞）上有兩解，
設g（x）=x³-6x²+9x-2，則g′（x）=3x²-12x+9，
令g′（x）=0得x=1或x=3．
∴當0≤x＜1時，g′（x）＞0，當1＜x＜3時，g′（x）＜0，當x＞3時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在[1，3）上單調(diào)遞減，在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x=1時，g（x）取得極大值g（1）=2，當x=3時，g（x）取得極小值g（3）=-2．
作出g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵a=x³-6x²+9x-2在（0，+∞）上有兩解，
∴a=2．
故答案為2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與極值計算，根的個數(shù)與函數(shù)圖象的關系，屬于中檔題．