Question

19．把二項式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^8}$的展開式中所有的項重新排成一列，則其中有理項都互不相鄰的概率為$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 利用通項公式可得有理項與無理項的項數(shù)．利用“插空法”及其排列公式即可得出概率．

解答 解：由二項式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^8}$展開式的通項公式得：${T_{r+1}}=C_8^r{（\sqrt{x}）^{8-r}}{（\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^r}={（\frac{1}{2}）^r}C_8^r{x^{\frac{16-3r}{4}}}$
可知當r=0，4，8時為有理項，其余6項為無理項．  
展開式的9項全排列共有$A_9^9$種，
有理項互不相鄰可把6個無理項全排列，把3個有理項在形成的7個空中插孔，有$A_6^6A_7^3$種．
故有理項都互不相鄰的概率為$P=\frac{A_6^6A_7^3}{A_9^9}=\frac{5}{12}$．
故答案為：$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查了二項式定理的應用、“插空法”、排列公式、概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．