Question

19．如圖，正八面體P-ABCD-Q由兩個棱長都為a的正四棱錐拼接而成．
（Ⅰ）求PQ的長；
（Ⅱ）證明：四邊形PAQC是正方形；
（Ⅲ）求三棱錐A-PBC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)PQ，交平面ABCD于O，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)PE、OE，利用勾股定理能求出PQ的長．
（Ⅱ）連結(jié)AC，推導(dǎo)出PA=AQ=QC=CP，且四邊形PAQC是矩形，由此能證明四邊形PAQC是正方形．
（Ⅲ）三棱錐A-PBC的體積V_A-PBC=V_P-ABC，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）連結(jié)PQ，交平面ABCD于O，
則O是正方形ABCD的中心，
取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)PE、OE，
在直角△POE中，∵OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}a$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴PQ=2PO=$\sqrt{2}a$．
證明：（Ⅱ）連結(jié)AC，∵PA=AQ=QC=CP，
∴四邊形PAQC是菱形，
∵AC=$\sqrt{2}$a=PQ，
∴四邊形PAQC是矩形，
∴四邊形PAQC是正方形．
解：（Ⅲ）三棱錐A-PBC的體積：
V_A-PBC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×PO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線段長的求法，考查四邊形是正方形的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．