Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿(mǎn)足a₁=1，2S_n=a_n+1-1．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a_n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件，將n換為n-1，兩式相減，求出a₂=3，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（Ⅱ）b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式可得T_n，再由$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，2S_n=a_n+1-1，
可得2S_n-1=a_n-1，（n≥2），
兩式相減可得，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n+1-a_n，
即有a_n+1=3a_n（n≥2），
由2a₁=2S₁=a₂-1，可得a₂=3，
則a_n=a₂q^n-2=3•3^n-2=3^n-1，對(duì)n=1也成立，
則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3^n-1；
（Ⅱ）b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
則前n項(xiàng)和為T(mén)_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
可得$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的求和方法：直接法和裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．