Question

15．若sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解，則a的值是1或0．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)解析式為f（x）=$\frac{1}{2}$（cos4x-cos6x），利用導(dǎo)數(shù)可得f（0）=0是函數(shù)的極小值，f（$\frac{π}{2}$）=1是函數(shù)的極大值，f（π）=0是函數(shù)的極小值，當a=1或0時，函數(shù)f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x 和函數(shù)y=a在[0，π）上只有一個交點，從而得到結(jié)論．

解答 解：令 f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x=-$\frac{1}{2}$（cos6x-cos2x）+$\frac{1}{2}$（cos4x-cos2x）=$\frac{1}{2}$（cos4x-cos6x），
則有f′（x）=3sin6x-2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0 或 x=$\frac{π}{2}$，
即f′（0）=0，f′（$\frac{π}{2}$）=0，而且還有f′（π）=0．
由于f′（x）在x=0的左側(cè)小于0，右側(cè)大于0，故f（0）是函數(shù)的極小值，
由于f′（x）在x=$\frac{π}{2}$的左側(cè)大于0，右側(cè)小于0，故f（$\frac{π}{2}$）=1是函數(shù)的極大值，
同理可得f（π）=0是函數(shù)的極小值．
故函數(shù) f（x）在[0，π）上只有一個極大值是f（$\frac{π}{2}$）=1，
故當a=1或0時，函數(shù)f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x 和函數(shù)y=a只有一個交點．
即sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解．
故答案為1或0．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)零點的判定定理，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解零點的定義以及零點判定定理，將題設(shè)中零點只有一個的條件正確轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．