Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{ax+1}{x-1}$，a∈R，且f'（2）=$\frac{5}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：與曲線y=lnx（x＞1）和y=e^x都相切的直線有且只有一條．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）設直線l和曲線y=lnx，（x＞1），y=e^x都相切，切點是（x₁，y₁），（x₂，y₂），得到lnx₁=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$，（x₁＞1）有唯一解，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a+1}{{（x-1）}^{2}}$，由f′（2）=$\frac{5}{2}$，解得：a=1，
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x{•（x-1）}^{2}}$，
∵x＞0且x≠1，∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，1）和（1，+∞）；
（2）證明：設直線l和曲線y=lnx，（x＞1），
y=e^x都相切，切點是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵y′=$\frac{1}{x}$，∴y′${|}_{x{=x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴曲線y=lnx在x=x₁處的曲線方程是y-lnx₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$（x-x₁），
即y=$\frac{1}{{x}_{1}}$x+lnx₁-1，①，
∵y′=${e}^{{x}_{2}}$，∴${e}^{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$，∴x₂=-lnx₁，
∴直線l也是y-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$（x+lnx₁），
即y=$\frac{1}{{x}_{2}}$x+$\frac{l{nx}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$②，
由①②得lnx₁-1=$\frac{l{nx}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴l(xiāng)nx₁=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$，x₁＞1
由（1）得，f（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$在（1，+∞）遞增，
又f（e）=lne-$\frac{e+1}{e-1}$=-$\frac{2}{e-1}$＜0，f（e²）=$\frac{{e}^{2}-3}{{e}^{2}-1}$＞0，
根據(jù)零點存在定理得方程f（x）=0必在區(qū)間（e，e²）上有唯一的根，
即方程lnx₁=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$，x₁＞1有唯一的解．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性．最值問題，考查導數(shù)的應用以及零點判斷定理，是一道中檔題．