18.設函數(shù)f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.
(1)若f(x)在x=$\frac{1}{4}$處的切線與直線4x+y=0平行,求a的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (1)求出函數(shù)的定義域,函數(shù)的導數(shù),利用斜率求出a,即可.
(2)化簡函數(shù)的導數(shù),通過①當a≥0時,②當a<0時,分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

解答 解:(1)由題知f(x)的定義域為(0,+∞),且$f'(x)=\frac{{4a{x^2}+(a+4)x+1}}{x}$.
又∵f(x)的圖象在$x=\frac{1}{4}$處的切線與直線4x+y=0平行,
∴$f'(\frac{1}{4})=-4$,即$4[4a×\frac{1}{16}+(a+4)×\frac{1}{4}+1]=-4$.解得a=-6.…(6分)
(2)$f'(x)=\frac{{4a{x^2}+(a+4)x+1}}{x}=\frac{(4x+1)(ax+1)}{x}$,由x>0,知$\frac{4x+1}{x}$>0.
①當a≥0時,對任意x>0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
②當a<0時,令f'(x)=0,解得$x=-\frac{1}{a}$,
當$0<x<-\frac{1}{a}$時,f'(x)>0,當$x>-\frac{1}{a}$時,f'(x)<0,
此時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為$(0,-\frac{1}{a})$,遞減區(qū)間為$(-\frac{1}{a},+∞)$.…(12分)

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用,函數(shù)的單調(diào)性與極值,切線方程的應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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