Question

8．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=$\frac{1}{2}$，過F₂作x軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，△F₁AB的面積為3，拋物線E：y²=2px（p＞0）以橢圓C的右焦點(diǎn)F₂為焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）如圖，點(diǎn)$P（{-\frac{P}{2}，t}）（{t≠0}）$為拋物線E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，連接PO并延長交拋物線于點(diǎn)N，求證：直線MN過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)F₂（c，0），由橢圓離心率及隱含條件把橢圓方程用含有c的式子表示，求出A的縱坐標(biāo)，代入三角形面積公式求得c，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得M坐標(biāo)，寫出直線PO的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得N的坐標(biāo)，當(dāng)t²≠4時(shí)，寫出MN所在直線方程，化簡后說明直線MN過定點(diǎn)（1，0），當(dāng)t²=4時(shí)，直線MN的方稱為：x=1，此時(shí)仍過點(diǎn)（1，0）．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)F₂（c，0）（c＞0），由$e=\frac{1}{2}$，有$a=2c，b=\sqrt{3}c$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
令x=c，代入C的方程有：$|{y_A}|=\frac{3c}{2}$，
∴${S_{△{F_1}AB}}=\frac{1}{2}×2c×2|{y_A}|=3{c^2}=3$，
∴c=1，故$\frac{p}{2}=c=1$，即p=2．
∴拋物線E的方稱為：y²=4x；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知：P（-1，t）（t≠0），則$M（{\frac{t^2}{4}，t}）$，
直線PO的方程為y=-tx，代入拋物線E的方程有：$N（{\frac{4}{t^2}，-\frac{4}{t}}）$，
當(dāng)t²≠4時(shí)，${k_{MN}}=\frac{{t+\frac{4}{t}}}{{\frac{t^2}{4}-\frac{4}{t^2}}}=\frac{4t}{{{t^2}-4}}$，
∴直線MN的方程為：$y-t=\frac{4t}{{{t^2}-4}}（{x-\frac{t^2}{4}}）$，即$y=\frac{4t}{{{t^2}-4}}（{x-1}）$，
∴此時(shí)直線MN過定點(diǎn)（1，0），
當(dāng)t²=4時(shí)，直線MN的方稱為：x=1，此時(shí)仍過點(diǎn)（1，0）．
∴直線MN過定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓與拋物線的簡單性質(zhì)，考查了橢圓與拋物線故選的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．