Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值總大于函數(shù)f（x），試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義，求得不等式f（x）＞1的解集．
（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義，可得函數(shù)f（x）的最大值為3，再結(jié)合題意可得g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值大于3．利用基本不等式求得g（x）的最小值，從而求得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-2|-|x+1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
而0對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于1，
故不等式f（x）＞1的解集為{x|x＜0}．
（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義，可得函數(shù)f（x）的最大值為3，
根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值總大于函數(shù)f（x），
可得g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值大于3．
∵g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$=ax-1+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{a}$-1，∴2$\sqrt{a}$-1＞3，∴a＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，基本不等式的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．