Question

14．己知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）的左焦點F與拋物線y²=-4x的焦點重合，直線x-y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0與以原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（I ）求該橢圓C的方程
（II）設點P坐標為（-$\frac{1}{8}$，0），若|PA|=|PB|，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （I）由拋物線的方程，求得焦點坐標，即可求得c，利用點到直線的距離公式，求得橢圓的離心率，求得a和b的值，求得橢圓方程；
（II）分類討論，當直線斜率存在時，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，即可求得k的值，求得直線AB的方程．

解答 解：（I）由拋物線y²=-4x焦點F（-1，0），則c=1，
由橢圓的離心率e=$\frac{丨0-0+\frac{\sqrt{2}}{2}丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{1}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴$所求橢圓C的方程為\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1…（4分）$，
（Ⅱ）若直線AB斜率不存在，即AB：x=-1，滿足|PA|=|PB|．
若直線AB的斜率存在，設其方程為y=k（x+1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
△=（8k²）²-4（4k²+3）（4k²-12）=9k²+9＞0，
則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$，
∴由AB中點坐標G（-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$），由PG⊥AB，
∴$\frac{\frac{3k}{3+4{k}^{2}}}{\frac{-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-（-\frac{1}{8}）}$×k=-1，解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
綜上可知：直線直線AB的方程x=-1或y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，橢圓及拋物線的簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理，中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．