Question

10．《最強(qiáng)大腦》是大型科學(xué)競技類真人秀節(jié)目，是專注傳播腦科學(xué)知識和腦力競技的節(jié)目．某機(jī)構(gòu)為了了解大學(xué)生喜歡《最強(qiáng)大腦》是否與性別有關(guān)，對某校的100名大學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

	喜歡《最強(qiáng)大腦》	不喜歡《最強(qiáng)大腦》	合計(jì)
男生		15
女生	15
合計(jì)

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到不喜歡《最強(qiáng)大腦》的大學(xué)生的概率為0.4
（ I）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)，并說明理由；
（ II）已知在被調(diào)查的大學(xué)生中有5名是大一學(xué)生，其中3名喜歡《最強(qiáng)大腦》，現(xiàn)從這5名大一學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到喜歡《最強(qiáng)大腦》的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
下面的臨界值表僅參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知完成列聯(lián)表，求出K²≈14.063＞10.828，由此有99.9%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)．
（II）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由題意知列聯(lián)表為：

	喜歡《最強(qiáng)大腦》	不喜歡《最強(qiáng)大腦》	合計(jì)
男生	45	15	60
女生	15	25	40
合計(jì)	60	40	100

K²=$\frac{100（45×25-15×15）^{2}}{60×40×60×40}$≈14.063＞10.828，
∴有99.9%的把握認(rèn)為喜歡《最強(qiáng)大腦》與性別有關(guān)．
（II）X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

EX=$0×\frac{1}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、是中檔題．